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• Mais detalhes em https://samuel-rosa.github.io/teaching/minicurso-mds/

Em 1886, o cientista russo, Vasily Vasili’evich Dokuchaev, postulou que:

“qualquer… solo é sempre e em qualquer lugar mera função dos seguintes fatores de formação: (1) a natureza (conteúdo e estrutura) da rocha parental; (2) o clima do terreno; (3) a massa e carácter da vegetação; (4) a idade do terreno; e, finalmente, (5) a topografia do terreno.”

Equação dos fatores de formação do solo – modelo CLORPT:

s = f(cl, o, r, p, t, …)

Resulta que (a) se os fatores mencionados são os mesmos em dois locais diferentes (por muito separados que estejam), os solos resultantes nos dois locais também devem ser similares, e vice-versa; em consequência, (b) se tivermos estudado a fundo esses fatores, podemos predizer de antemão como deveria ser o solo. (Florinsky (2012))

• Variável resposta ou variável dependente
  • Representação: \(Y\)
• Natureza
  • Qualitativa (ordinal ou nominal) ou quantitativa (contínua ou discreta)
• Suporte amostral
  • Areal ou pontual
• Latitude e longitude
  • Representação: \(\boldsymbol{s}\)
• Uma observação de uma variável do solo: \(y(\boldsymbol{s}_i)\)

Existem duas fontes principais de dados do solo:

• Dados preexistentes
  • Dados legados, coletados nas muitas décadas passadas
  • Deixados para as próximas gerações
  • Disponíveis em repositórios de dados
• Amostragem no campo
  • Amostragem não-probabilística (otimização amostral – calibração dos modelos)
  • Amostragem probabilística (amostragem aleatória simples ou estratificada – validação dos modelos)

• Indicadores dos fatores de formação do solo
• Variáveis explicativas, variáveis preditoras, variáveis independentes
• Covariação espacial e/ou temporal

s = f(s, c, o, r, p, a, n)

• s, solo
• c, clima
• o, organismos
• r, relevo
• p, material de origem
• a, idade
• n, coordenadas espaciais

(McBratney, Mendonça-Santos, and Minasny 2003)

O modelo SCORPAN possui dois elementos bastante diferentes do modelo CLORPT

s = f(s, c, o, r, p, a, n)

• n são as coordenadas espaciais (latitude e longitude, ou northing e easting)
• s são informações preexistentes do solo (mapas pedológicos antigos)

Vejamos dois exemplos!

Podemos pensar nas informações preexistentes do solo da seguinte maneira:

s’ = f(c’, o’, r’, p’, a’, n’)

s = f(c’, o’, r’, p’, a’, n’, c, o, r, p, a, n)

Temos um conjunto de n = 100 observações com coordenadas espaciais (latitude e longitude) e dados da variável do solo (argila) e das covariáveis espaciais (elevação e declividade)

Queremos saber o valor da variável do solo (argila) em três locais onde temos apenas dados das covariáveis espaciais (elevação e declividade)

Para fazer isso, primeiro usamos os dados da tabela completa para construir (calibrar) um modelo (geo)estatístico. Com o modelo (geo)estatístico, predizemos o valor da variável do solo na tabela imcompleta.

No mapeamento digital do solo utilizamos modelos (geo)estatísticos para tratar a variação espacial do solo

\[Y(\boldsymbol{s}) = \mu(\boldsymbol{s}) + Z(\boldsymbol{s}) + \varepsilon(\boldsymbol{s})\]

• \(Y(\boldsymbol{s})\) – característica (variável) do solo
• \(\mu(\boldsymbol{s})\) – características do ambiente (neste minicurso)
• \(Z(\boldsymbol{s})\) – dependência espacial
• \(\varepsilon(\boldsymbol{s})\) – erro

• O uso de modelos (geo)estatísticos tem implicações na maneira como entendemos e representamos a propriedade do solo sendo mapeada
  • Endentemos uma propriedade do solo como uma variável aleatória
  • Representamos uma variável aleatória usando uma função de distribuição de probabilidade
• Variáveis aleatórias qualitativas (classe de solo, classe textural):
  • \(Y(\boldsymbol{s})\) = \(p\)[LV] + \(p\)[NV] + \(p\)[RR] + \(p\)[GX] = 0,70 + 0,25 + 0,03 + 0,02 = 1,00
• Variáveis aleatórias quantitativas (conteúdo de argila, pH, conteúdo de carbono):
  • \(Y(\boldsymbol{s})\) = 12,45 g kg^-1 \(\pm\) 2,27 g kg^-1

Uma aspecto muito importante do MDS é sua capacidade de informar a incerteza sobre as predições

A incerteza advém do fato de estarmos “adivinhando” – predizendo – os valores das variáveis do solo sem coletar amostras do solo

• A maneira de representar a incerteza depende do tipo de variável do solo sendo mapeada
  • Variáveis quantitativas: desvio padrão e intervalo de predição
  • Variáveis qualitativas: pureza teórica, entropia de Shannon e índice de confusão

Predições do conteúdo de argila na camada superficial do solo (esquerda) e o desvio padrão do erro dessas predições (direita) como medida de incerteza

O intervalo de predição é representado como uma faixa (faixa de valores mais prováveis de serem encontrados no campo) em torno do valor predito (valor mais provável de ser encontrado no campo)

Maior valor de probabilidade predita em um ponto de interesse

\[\varPi(\boldsymbol{s}) = \max\limits_{i \in k}(\hat{\pi}(y_i, \boldsymbol{s}))\]

Qual é o valor da pureza teórica?

\(Y(\boldsymbol{s})\) = \(p\)[LV] + \(p\)[NV] + \(p\)[RR] + \(p\)[GX] = 0,70 + 0,25 + 0,03 + 0,02 = 1,00

p <- c(0.70, 0.25, 0.03, 0.02)
max(p)

## [1] 0.7

Grau de “desordem” das predições

\[H(\boldsymbol{s}) = - \sum_{i = 1}^k \hat{\pi}(y_i, \boldsymbol{s})\log_k\hat{\pi}(y_i, \boldsymbol{s})\]

Qual é o valor da entropia de Shannon?

\(Y(\boldsymbol{s})\) = \(p\)[LV] + \(p\)[NV] + \(p\)[RR] + \(p\)[GX] = 0,70 + 0,25 + 0,03 + 0,02 = 1,00

p <- c(0.70, 0.25, 0.03, 0.02)
-sum(p * log(p, base = length(p)))

## [1] 0.5624226

Confusão entre as duas classes mais prováveis

\[CI(\boldsymbol{s}) = 1 - (\max\limits_{i \in k}(\hat{\pi}(y_i, \boldsymbol{s})) - \max\limits_{i \in k-1}(\hat{\pi}(y_i, \boldsymbol{s})))\]

Qual é o valor do índice de confusão?

\(Y(\boldsymbol{s})\) = \(p\)[LV] + \(p\)[NV] + \(p\)[RR] + \(p\)[GX] = 0,70 + 0,25 + 0,03 + 0,02 = 1,00

p <- c(0.70, 0.25, 0.03, 0.02)
1 - (max(p) - max(p[-which.max(p)]))

## [1] 0.55

• Feitas as predições, precisamos saber quão boas elas são – para isso serve a validação
• Comparamos os valores preditos (argilaPred) com valores medidos no campo (argilaObs)

Dividimos os dados em grupos. Alguns grupos são usados para calibrar o modelo. Um dos grupos é usado para validar o modelo. E assim sucessivamente, até usar todos os grupos em algum momento para validar o modelo.

A validação cruzada é usada quando temos pouca disponibilidade de recursos.

O mais apropriado é usar a validação externa: dados adicionais coletados especialmente para a validação do modelo

• Prova real da qualidade de um mapa
• Reduzir vieses/vícios
• Amostragem probabilística
  • Simples
  • Estratificada

• Variáveis quantitativas
  • Erro médio – diferença média em relação aos valores reais
  • Erro absoluto e quadrático – dispersão dos erros
  • Raiz quadrada do erro quadrático médio – dispersão dos erros
  • Eficiência do modelo – quantidade de variância explicada

• Variáveis quantitativas
  • Erro médio – quanto mais próximo de zero, melhor
  • Erro absoluto e quadrático – quanto mais baixo, melhor
  • Raiz quadrada do erro quadrático médio – quanto mais baixo, melhor
  • Eficiência do modelo – quanto mais próximo de um, melhor

• Variáveis qualitativas
  • Pureza geral e por classe – percentual de acerto
  • Kappa geral e por classe – proporção de acerto comparada a um classificador aleatório

• Variáveis qualitativas
  • Pureza geral e por classe – quanto mais próximo de um, melhor
  • Kappa geral e por classe – quanto mais próximo de um, melhor